Week 12.1. 轉化 From X to g(X)

轉換，轉化

這門課，乃至於在大學課程中所學的隨機變數如Bernoulli, Binomial, Discrete Uniform; Uniform, Normal 等，都是如樂高積木的基本建構元件/模型。真實世界中的不確定現象，隨機性往往需要更複雜的模型。而函數正是我們由這些簡單元件堆疊出更複雜模型的一個非常重要的方式。

If X is a random variable and g is Borel-measurable
then g(X) is again a random variable.

以這門課來說，我們所使用的函數都是你所熟悉的函數，如
\(g(x)=a x +b, \ g(x)=x^3 +2x \)
他們延伸出的 Y=g(X) 也都是隨機變數。

What is g(X)?

但如何知道他們是什麼隨機變數呢？（這個問題翻成白話就是：Y的cdf \(F_Y(y)\), pdf/pmf \(f_Y(y)\), mgf \( m_Y(t) \) 只要找出三者之一，就完全刻劃了這個隨機變數）
一般常用法

1. 找出 \( F_Y(y)\) 與 \(F_X(x) \) 之間的關聯
2. 找出 \( M_Y(t)\) 與 \( M_X(t)\) 之間的關聯，當 g(x) = a x +b 時特別好用
3. 找出 \( f_Y(y)\) 與 \(f_X(x) \) 之間的關聯。當 f 是 pmf 時比較方便，f 是 pdf 時需要透過 F 的微分完成。當然，有一些一般的公式可以幫助計算，數統時會教。
   ###例：

• X ~ U(0,1). Find cdf and pdf of Y where
  a. \(Y=g(X)=X^3\),
  b.\(Y=g(X)=(X-0.5)^2\).
• \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \). Find pdf and cdf of
  $$Z= \frac{X-\mu}{\sigma}$$
• \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \). Find pdf and cdf of
  $$Y= a X + b$$ where a, b are real numbers.

Expectation and Variance

• \( E(a X +b) = a E(X) +b \)
• \( Var(aX+b) = a^2 Var(X)\)
  provided E(X) and Var(X) both exist.