目前為止，我們已經學會 random variable 的一些基本。符號上來看，我們常以\(X, Y\) 來表示 random variable。接下來我們要拓展這個概念為 random vector. 符號上我們常用 \( \mathbf{X, Y}\) 來區分。詳細地寫
$$ \mathbf{X}=(X_1, \cdots, X_n)$$
表示一個 n-random vector 其中 \( X_1, \cdots, X_n \) 各是random variable。方便討論，先考慮 n=2 的情況。
發想例題
考慮一個銅板投擲兩次的兩種投法：此銅板投擲一次的結果以Beroulli(p) 為模型，pmf 為 \(f \). 兩次投擲的結果以\( X_1, X_2\)表示。
- \( X_1, X_2\) 為此銅板的一個 random sample of size 2。即兩次投擲皆來自同一銅板，且兩次投擲互不關聯，各自獨立。
- 投擲銅板一次 （\(X_1\)）後，即將第二次結果直接設為第一次結果（\(X_2 \leftarrow X_1\)）。
引導問題
- 如何分別刻劃這兩種不同的隨機狀況？ ( \( \leadsto \) joint pmf of \(X_1, X_2\) for these two scenarios )
- \( X_1, X_2\) 個別隨機狀況與整體情形？( joint pmf and marginal pmf’s and relation between them)
- joint pmf \( \rightarrow\) marginal pmf, but knowing marginal pmf of \( X_1, X_2\) cannot determine the joint pmf
對照於之前單一隨機變數，隨機向量也有相似的刻劃
- joint pmf/pdf, joint cdf
其中 joint pmf/pdf 皆須滿足pmf 或pdf 的基本性質。除此之外，由joint pmf/pdf還可推導出
- marginal pmf/pdf
值得提醒地，他們本身也還是pmf/pdf。因此也會滿足pmf 或是 pdf 的基本性質。再做相關計算的時候，這是一個迅速驗算的點。另外，類同地，pmf 可以理解為機率；而 pdf 並沒有機率的解釋，只是用來計算機率。
練習題
請參考上課筆記